這大半年，蘭恩徹底忍住自己，不去看那些前沿期刊的做法，還是很有效的。
題海戰術備戰升學之餘，他也在不停地補課。
蘭恩的做法是，忍住不去接觸前沿的東西，轉而從一個點入手，抽絲剝繭，理一遍之前的脈絡樹。
勤奮和努力沒有白費。
對於這篇《論數字計算在決斷難題中的應用》，蘭恩已經大致理解了它的思路，它的前因後果。代價是，他花在各種資料和文獻上的時間，大大超出了他用在做題上的時間。
合上最後一本書，蘭恩慢慢整理自己的思路。
“圖靈機的原理只是附屬，這篇論文最中心的思想還是解決可計算性問題。”
“而他對於可計算性的思索，本質上還是第三次數學危機的延伸。”
說到數學危機。
第一次數學危機，是產生於遠古時代，那個魔法依然是神秘的魔法，奧術還遠遠不成系統，與魔法完全不分家的時代。
由於幾何在當年的魔法陣和施法上的巨大作用，數學的意義首次被提高了。
有的魔法師學者們開始認為“萬物皆數”，即：數學的知識是可靠的、準確的，而且可以應用於現實的世界，數學的知識由於純粹的思維而獲得，不需要觀察、直覺和日常經驗。
直到他們遇到了正五邊形的問題。
在當時那個神秘學當道的時代，正三角形、五角星、六芒星、八角星是最常用的基礎架構圖形。直到有一個法師，發現五角星連成正五邊形後，邊與對角線的比無法用有理數表示。
然後他被束縛後，扔下了法師塔。
這次也被後世稱作“無理數危機”。
當然，由於無理數的定義，這次危機在歷經滄桑後最終解決。
由此帶來的後果是積極的，法師們察覺，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是最可靠的，從此法師們開始重視演譯推理，並由此建立了幾何公理體系。
這是巨大的進步和奠基作用，也深深地影響了以後奧術的出現。
第二次數學危機，則是在偉大的光榮時代，由大奧術師艾薩克和大奧術師萊布尼茲共同引發的。
想到萊布尼茲，蘭恩又想到了萊布尼茲大奧術師的生平。
由於對艾倫麥席森論文中，特意提到的萊布尼茲手稿感興趣，蘭恩特地去查了一點資料。
出生於目前神聖同盟的勢力範圍內，一個魔法世家的他，卻深深地相信一切都可以用理性分析。然後他盯上了數學這項在法師間廣為使用的基礎工具，根據記載，他和艾薩克幾乎同時，各自獨立的發明了微積分。然後，他們的工作，建立的體系，深深地影響了後世至今。而且，他還涉獵廣泛，在許多不同的領域都有傲人的成就。
他有一個傳播很廣但是上不了檯面的觀點：“我們的世界，或許不是創世神創造的最好的一個，但肯定屬於最有意思的一批。”
對於這一點，蘭恩比較以為然。
跑題了。
蘭恩拉回思緒。
艾薩克和萊布尼茲引發的這項危機，正是由於他們的微積分。
在微積分大範圍應用的同時，關於微積分基礎的問題也越來越嚴重。關鍵問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？由此而引起了法師和奧術師們長達一百多年的爭論。這就是第二次數學危機，又名“無窮小危機”。
後來，是柯西和魏爾斯特拉斯等一批奧術師，透過對數學分析一系列基本概念的精確定義，以及對分析的算術化，逐步解決了這次危機，恢復了數學的結構。
這次危機的意義，一是加速了分析數學的發展，使其成為了龐大的體系；二是徹底解下了微積分甚至數學上面神秘的面紗，衝破了魔法的束縛，為數學的獨立發展創造了條件，也讓普通人有機會成為奧術師。比如蘭恩所在的小學，頗有一些頭腦超人，但是資質一般或家境一般的同學，在小學畢業後直接去奧術學院就讀。
第三次數學危機，也就是目前魔法界和奧術界正在經歷的這次，卻是由於集合論的悖論產生的。
它像第一次危機那樣，突然出現。
在一個位於奧法聯邦，名叫伯特蘭阿瑟的奧術師研究集合的時候，忽然發現了悖論。
關於這個悖論的闡述，最著名的是“理髮師問題”。
一個理髮師宣佈了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，並且，只給村裡這樣的人刮臉。當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質：“理髮師是否自己給自己刮臉？“如果他不給自己刮臉，那麼他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那麼他就不符合他的原則。
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這就是這次危機的核心問題。
危機爆發時，距離大奧術師龐加萊的宣稱“數學的嚴格性，看來直到今天才可以說實現了”才剛剛過去兩年，屬於赤裸裸的打臉。
直到如今，危機仍然在蔓延。
例如這篇論文，就是艾倫麥席森奧術師在思考‘停機問題’它和導致這次危機的悖論一樣，屬於自指時，尋找這次數學危機解決方案的產物。
艾倫的天才之處在於，他的思考高屋建瓴。他首先考慮的是，是否所有數學問題都用解？如果這個問題不解決，辛辛苦苦解題，最後發現無解，一切的努力都是浪費時間和精力。
至於論文末尾提出的理想計算機器，則是這些思考的副產物。
“這樣，經過通讀所有這些相關的書籍，我就大致理清了這個世界上，往昔數學發展的脈絡。至少是這篇論文所在的分支，雖然理解的仍太過粗淺。”蘭恩揉著太陽穴想到
“如果文學構建了美學的大廈，那麼構建理性大廈的，一定是數學。”
“要實現自己‘想看到更遠一些的美妙風景’的願望，成為大奧術師是必不可少的，而這個過程，就是自己攀登理性大廈的過程。”
放下揉太陽穴的手，蘭恩將面前已經合上的書籍收了起來，移到一邊。
他準備例行更換手頭的事情，換換腦子。
學習和思考之餘，蘭恩經常會研究一些看起來更實用更有意思的事兒。而對這篇論文學習的告一段落，意味著他有了更多的時間鼓搗這些。
研究方式，主要是實驗。
實驗內容，他選擇的是一些可以動手操作，還能有拓展思考的東西，譬如他很感興趣的魔法符文。
尤其是……中繼器。